science-review.ru
Настоящее учебное пособие включает в себя разделы линейной алгебры, входящие в учебные программы по дисциплинам «Высшая математика» и «Математика» для студентов, обучающихся по экономическим, техническим, биологическим, сельскохозяйственным и ряду других специальностей вузов. В книге рассматриваются весьма важные темы линейной алгебры: матрицы, определители, системы линейных уравнений и неравенств, n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства.
Книга содержит оглавление, введение, 4 главы, заключение, ответы к задачам, список литературы. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается подробными решениями разнообразных примеров различной трудности. В каждой главе имеются задачи, которые предлагаются студентам для самостоятельного решения.
Объяснения теоретического материала и решений примеров даны в доступной для студентов форме. Подробно разобранные решения примеров помогут студентам лучше усвоить линейную алгебру и приобрести навыки самостоятельного изучения предмета.
В представленном учебном пособии, в отличие от ряда других учебных пособий, для каждой доказываемой теоремы приводится не только ее формулировка, но отдельно выделено: «Дано», «Требуется доказать», а затем приводится подробное доказательство. Даны формулировки и доказательства прямых и обратных теорем. Такое изложение материала должно способствовать лучшему пониманию предмета студентами.
Первая глава включает в себя теоретический материал и задачи по теме: «Матрицы и определители». Рассмотрены линейные операции над матрицами, умножение матриц, определения и методы нахождения ранга матрицы, обратной матрицы. Объяснены важнейшие методы вычисления определителей разных порядков.
Во второй главе рассмотрена тема: «Системы линейных уравнений и неравенств». Приведены определения совместной и несовместной систем линейных уравнений, а для совместных систем – определенной и неопределенной систем линейных уравнений. Представленное учебное пособие позволяет студентам изучить основные методы исследования и решения систем линейных уравнений. Показано, как находить решение системы n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера, а также с помощью обратной матрицы. как исследовать системы m линейных уравнений n неизвестными методом Гаусса и находить этим методом решения совместных систем. Рассмотрены системы однородных линейных уравнений, приведен алгоритм нахождения их фундаментальных систем решений.
В данном учебном пособии сформулированы алгоритмы нахождения ранга матрицы, обратной матрицы, решений систем m линейных уравнений с n неизвестными (при m > n, m < n, m = n), вычисления определителей разных порядков методом последовательных исключений (методом Гаусса) с применением «правила прямоугольников». Применение представленных алгоритмов значительно упрощает выполнение расчетов без использования компьютеров (на аудиторных занятиях и при самостоятельной работе студентов).
В отличие от ряда других учебников и учебных пособий по линейной алгебре в данное учебное пособие входят теоретический материал и задачи на нахождение на плоскости n-мерных векторных пространств xOy областей, координаты точек которых удовлетворяют заданным системам линейных неравенств с двумя переменными x и y. Это позволило расширить круг освещаемых в пособии вопросов.
Третья глава посвящена n-мерным векторам и арифметическим векторным пространствам. Понятие n-мерных векторов введено как обобщение понятия аналитического представления векторов трехмерного пространства. Рассмотрены линейные операции над n-мерными векторами, линейные комбинации этих векторов. Введены понятия линейно зависимых и линейно независимых систем n-мерных векторов, базиса n-мерного векторного пространства, координат n-мерного вектора в заданном базисе, ранга системы n-мерных векторов.
В четвертой главе рассматриваются приложения линейной алгебры для решения прикладных задач. Отмечено, что применение методов линейной алгебры дает возможность решить ряд практически важных задач. Линейная алгебра широко применяется в экономике, в физике (например, в квантовой механике). Эта дисциплина является теоретической основой линейного программирования – одного из разделов математического программирования, который позволил получить решения многих экономических задач.
В главе 4 приведены составленные автором задачи прикладного характера, которые позволят студентам познакомиться с некоторыми приложениями линейной алгебры в экономике, линейном и нелинейном программировании, в математическом анализе, теории вероятностей, при решении инженерных и других практических задач. Имеются задачи, в которых требуется: составить систему уравнений межотраслевого баланса (линейную балансовую модель), найти коэффициенты прямых затрат труда, составить матрицу коэффициентов полных затрат, определить валовой выпуск продукции для обеспечения заданного выпуска конечного продукта. В ряде приведенных примеров рассматриваются вопросы о составлении математических моделей задач определения допустимых планов перевозок различных грузов и нахождении общих решений полученных систем линейных уравнений методом Гаусса. При составлении задач четвертой главы автором использованы экспериментальные данные, опубликованные в научной литературе.
Представленное учебное пособие показывает, что значение линейной алгебры не ограничивается только ее практическим применением. Линейная алгебра играет важную роль в формировании строго математического логического мышления. Этому, в частности, способствует изучение вопросов, посвященных n-мерным векторным пространствам: в книге показано, что понятия n-мерных векторов и n-мерных векторных пространств являются обобщениями понятий аналитического представления обычных геометрических векторов и трехмерного пространства. Линейная алгебра – интересная математическая дисциплина, которая расширяет кругозор, формируют мировоззрение, позволяют понять многообразие и единство окружающего нас мира.
В список литературы включены учебники и учебные пособия, рекомендуемые для изучения теоретического материала, сборники задач по линейной алгебре а также научная и учебная литература, использованная при составлении задач прикладного характера.
Учебное пособие предназначается для студентов вузов, обучающихся по экономическим, биологическим, инженерным и ряду других специальностей. Данное учебное пособие могут использовать студенты, изучающие линейную алгебру при различном количестве учебных часов, отводимых на содержащиеся в нем темы в программах по математике. Рассмотренный в пособии материал, не входящий в учебные программы студентов, обучающихся по специальностям с небольшим числом учебных часов по математике, может быть опущен студентами без ущерба для понимания других включенных в это учебное пособие вопросов. Книга может быть полезна и преподавателям вузов.